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ぜんまい・定加重ばねとは | 設計資料

設計資料

計算式

本文中で使用する主な記号を表1に示す.

φ	たわみ角
M	トルク
l	板厚
h	板幅
b	たわみ角に対するばね定数
σ	公称応力
E	ヤング率
D₂	ケース内径
d₁	シャフト径
R_n	コイリング半径
R₁	従動軸半径
R₂	駆動軸半径

表1

(１)非接触型渦巻ばね

(ⅰ)非接触型渦巻ばね

a. 巻数が多く外端固定支持の場合

図1	図1のように巻数の多い非接触渦巻ばねの外端が固定され，内端が巻心に取り付けられている場合の計算式は次のとおりである．

	(1)
	(2)
	(3)

b.巻数が多く外端自由支持の場合
同様に外端をピンジョイント等で自由支持とした場合の計算式は次のとおりである．

	(4)
	(5)
	(6)

自由支持外端にモーメントが働かないため，外端を固定支持した場合と比べるとたわみ角が約25%増大する．また曲げ応力は，ばね全体にわたって同一とはならず外端付近で最大となり，同一トルクを与えた場合，外端を固定支持した場合の２倍となる．

(ⅱ)　ひげぜんまい

ひげぜんまいは，小型で巻数の多い非接触型渦巻ばねにほかならないが，振動周期の等時性を重視する点で特異性がある。詳細は省略するが，回転振動の中心とひげぜんまいの重心との偏心を小さくする設計が必要となる．
　振動体の質量をM_v^,その回転半径をχとすれば，振動体の周期Tは次のとおりである．

(7)

(２)接触型渦巻ばね（ぜんまい）

(ⅰ)Ｓ字ぜんまい

ぜんまいの内，一次巻加工を行うものを，自由形状がＳ字に似た形状になることから，Ｓ字ぜんまいと称する．

a.　回転数とばねの長さ
ばねの長さを，板厚×長さがケースから軸心を差し引いた有効面積の1/2を占めるように設定した場合に，最大の回転数を得ることができる．このときの回転数は，自由時にぜんまいはケースに密着していると仮定し，また内端の密着巻部分を無視すれば，

(8)

但し実際には，必要な回転数を確保するための長さに設定することが多い．

b.　ぜんまいばねのトルク特性，応力
Ｓ字ぜんまいは，板の外側に初期応力として圧縮応力を与えてある．トルクMと応力σの関係は、

(9)

となるが、この場合の応力σは初期圧縮応力と引張応力の和となる。ばね定数kは、トルク特性のうちの直線部分、すなわち有効長すべてに渡り均等に負荷がかかっている場合に、

(10)

となる。
　これらの計算式では、ばねの特性の一部しか表せないために、実際の計算は数値解析によって行わざるを得ない．

(ⅱ)　一次巻なしぜんまい

　直線形状の鋼帯を巻き込んで製造されるぜんまいも、計算式はＳ字ぜんまいと同様となる．

(iii)　定トルクぜんまい

　定トルクぜんまいは、自由時に密着巻きされた特殊な渦巻ばねを、自由時の自然半径R_nより少し大きい半径の従動軸に取り付け、その外端を駆動軸に取り付けて、駆動軸を従動軸と同方向または反転方向に回転させるぜんまいで、トルクは回転数によらずほぼ一定となる．また自由曲率を変化させることで、トルクを一定ではなく、途中で変化させることもできる．しかも、回転数を確保しやすいという特徴ももっている．ただし、応力振幅が大きくなるために、一般的に耐久性は低くなる．

a. A-motor

図2	駆動軸への巻き付け方向を、従動軸の渦巻ばねと同方向にする場合の定トルクぜんまいをA-motorと称する．

この場合のトルクMは、

(11)

b. B-motor

図3	駆動軸への巻き付け方向を、従動軸の渦巻ばねと逆方向にする場合の定トルクぜんまいをB-motorと称する．

この場合のトルクMは、

(12)

(iv)　定荷重渦巻ばね

図4	定トルクぜんまいと同様であるが、外端を直線的に引き出して、その巻き込み力を利用するものを定荷重渦巻ばね( Constant Force Spring, Neg’ator )と称する．

この場合、荷重は引き出し量にほとんど無関係にほぼ一定となり、荷重Pは

(13)

２．設計応力の取り方

ぜんまいの場合、使用時の最大応力は材料の降伏点付近となり、耐久性能を論じるときは、応力振幅をどう取るかに主眼が置かれる．式(9)より、使用範囲でのトルクの差から、ある程度推察することは可能であるが、実際には使用範囲内でケースまたはシャフトに密着している部分があり、その部位の応力振幅は低くなり、それ以外の部分の応力振幅が大きくなる．そのため、数値解析を用いて応力の振幅を計算する必要が生じる．

３．設計上の注意

ぜんまいで、一次巻を行わない場合、直線形状より巻き取られた鋼帯は塑性変形を起こし、自由状態でらせん状となるが、ばねの長さが長くなると塑性変形を起こさず、直線形状のままの部位が残ることがある．この部位は、同一のモーメントで同様な変形を起こすので、板間摩擦が大きくなり正常なぜんまいの動きを阻害し、みかけのトルクが低くなったり、耐久性が極端に悪化したりするので注意が必要である．
また、外端部をケース側面に密着するような固定支持とせねば、外端付近でケースとの摩擦により隙間ができたり、ぜんまいが偏心して摩擦が大きくなったりするので注意が必要である．

４．設計例

接触型渦巻ばねの設計は、前述したように、計算式のみでは概略しか設計できない．

［例　１］
　使用範囲を10回転とし、この範囲での最低トルクをM=100N-mmとしたい．使用する材質はSUS301とし、ケースの内径D₂=50mm、シャフト径d₁=10mm、板幅b=8mmとしてぜんまいを設計せよ．
［解］
ぜんまいの最大トルクをM_max=150N-mmと仮定する．このときS字ぜんまいであれば
σ_max=2400MPa
程度となる（一次巻なしの場合σ_max=1800Mpa程度）ので、式(9)より

h=0.220とし、総巻数を22回とする。このとき最大トルクは、
M_max=155 N-mm
内端にシャフトに密着巻となるよう焼鈍部分を1.5巻き、すなわち50mm設けるとする。このとき計算上はシャフト径が、
d₁=10+(0.22×2)×1.5=10.66
となったと見なされる．このとき式(8)より、
N=26.45
となる。このときのばねの長さは、

総巻数は自由時にぜんまいはケースに密着していると仮定すれば、シャフトに密着巻きされている時の巻数と、ケースに密着している時の巻数の差となるので、

総巻数が22回とすると、l=2160mmとなる。
ばね定数は、ヤング率をE=190GPaとして式(10)より、

使用範囲をN=8～18とすれば、
M₈=155-3.92×14=100 N-mm
M₁₈=155-3.92×4=139 N-mm
となる。このときの応力振幅は、
⊿σ=6⊿M/bh²=604 MPa
となる。*

次に、定荷重渦巻ばねの場合を考える．

［例　2］
引き込み荷重P=10Nの定荷重渦巻ばねを設計せよ．
［解］
定荷重渦巻ばねの場合、コイリングされた薄板を直線にまで引き伸ばして使用する．このためいくら小さくコイリングしても、直線に引き伸ばすと塑性変形を起こしてしまい、製造できるコイリング径にはおのずと限界がある．製造可能なコイリング径は、使用する材料にもよるが、板厚の80倍が目安となる．
さて、式(13)において、t=0.200とすると製造可能なR_nはR_n≧8となる。いまR_n=10として、
E=190GPa, R₁=10とすれば、

となる。このとき応力振幅⊿σは、
⊿σ=Et/2R=1900 MPa
となり、当社のデータに基づけば、耐久性能はおよそ15000回となる．

* ぜんまいのように長方形断面の材料で幅が厚さに比べて大きい場合には，EIの代わりにEI/（1－ν²）としたほうが正確な結果が得られる．
* 当社データによると、⊿σ≒600 MPaが、耐久性10⁵の目安となる．

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